2024年東北林業大學非全日制研究生招生考試《高等代數》考試大綱
考試內容范圍:
一、一元多項式
1. 一元多項式的定義和基本運算；
2. 多項式的帶余除法與綜合除法，多項式整除性的常用性質；
3. 多項式的最大公因式概念及性質，輾轉相除法；
4. 不可約多項式的概念及性質，多項式的唯一因式分解定理，多項式的重因式；
5. 多項式函數與多項式的根的概念及性質；
6. 代數基本定理，復數域和實數域上多項式的因式分解定理；
7. 整系數多項式的有理根，Eisenstein 判別法。
二、行列式
1. 線性方程組和行列式的關系，逆序數、排列、n 階行列式定義，子式和代數余子式定義；
2. 利用行列式的性質計算行列式；
3. 行列式依行依列展開；
4. 克拉默法則。
三、線性方程組
1. 利用消元法求解線性方程組；
2. 矩陣的秩的概念，用矩陣的初等變換求秩；
3. 線性方程組可解的判別法。
四、矩陣
1. 矩陣的線性運算、乘法、轉置及其運算法則；
2. 逆矩陣概念，矩陣可逆的判定條件及可逆矩陣的性質，求可逆矩陣的逆矩陣的方法；
3. 矩陣的分塊法，分塊矩陣的運算法則。
五、向量空間
1. 向量空間及子空間的定義；
2. 向量組線性相關、線性無關的定義，向量組線性相關性的判定條件和性質，向量組的極大無關組；
3. 向量空間的基與維數，過渡矩陣及坐標變換公式；
4. 向量空間的同構及其性質；
5. 矩陣的秩與向量組的秩的關系及計算；
6. 齊次線性方程組的解空間與基礎解系，線性方程組的結構式通解。
六、線性變換
1. 線性映射的概念及其相關性質，線性映射與矩陣的關系；
2. 線性變換的概念及其相關性質，線性變換與矩陣的關系；
3. 不變子空間及其性質；
4. 線性變換的本征值和本征向量、方陣的特征值和特征向量；
5. 可以對角化的矩陣。
七、歐氏空間
1. 向量空間中向量的內積、長度、夾角的定義及性質；
2. 規范正交基，Schmidt 正交化方法；
3. 正交變換與正交矩陣的定義和性質，旋轉變換與鏡面反射變換的定義及性質；
4. 正交補空間的定義及性質，正射影的定義及計算；
5. 對稱變換的定義和性質，實對稱矩陣的性質，實對稱矩陣的正交相似對角化。
八、二次型
1. 二次型與對稱矩陣，矩陣的合同關系；
2. 復數域和實數域上的二次型，慣性定理；
3. 利用配方法、初等變換、正交變換方法化二次型為標準型；
4. 正定二次型與正定矩陣的定義及性質，實對稱矩陣正定的判定條件；
5. 半正定二次型與半正定矩陣的定義及性質，實對稱矩陣半正定的判定條件。
參考書目：
《高等代數》(第五版)，張禾瑞、郝鈵新，高等教育出版社，2007 年。
考試須知：
考試總分：150 分；考試時間：3 小時；考試方式：筆試。
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