2024年北京工業大學非全日制研究生招生考試《高等代數》考試大綱
一、 考試要求
高等代數考試大綱適用于北京工業大學理學部(0701)數學、(0714)統計學學科的碩士研究生招生考試。
考試內容主要包括多項式、行列式、矩陣、線性方程組、二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間等。
要求考生理解基本概念、掌握基本定理、熟悉基本計算，有較強的運算能力和綜合分析解決問題的能力。
二、 考試內容
(一)多項式理論
1. 理解一元多項式的概念，多項式的因式分解、因式分解定理
2. 掌握多項式的加、減、乘、除運算、多項式的整除、最大公因式、重因式判別法、有理系數多項式、愛森斯坦因判別法
(二)行列式
1. 理解 n 元排列、n 級行列式的定義
2. 熟練掌握 n 級行列式的定義、性質及計算方法
3. 熟悉代數余子式的相關結論、克來姆法則、范得蒙行列式
(三)線性方程組
1. 理解 n 維向量的運算及性質、線性相關與線性無關
2. 熟練掌握高斯消元法、矩陣的秩、線性方程組有解的判別定理、線性方程組解的結構
(四)矩陣
熟練掌握矩陣的各種運算、矩陣乘積的行列式、矩陣的秩、分塊矩陣、逆矩陣、初等變換與初等矩陣
(五)二次型
1. 熟悉二次型的矩陣表示
2. 熟練掌握二次型的標準型、二次型的規范型、慣性定理、正定二次型
(六)線性空間
1. 理解線性空間的定義及性質、維數、線性子空間、線性空間的同構
2. 熟練掌握基與坐標、基變換與坐標變換、子空間的交與和及維數公式、子空間的直和及其等價命題
(七)線性變換
1. 理解線性變換的定義與運算，了解哈密爾特—凱萊定理、若當矩陣及其性質
2. 熟練掌握線性變換的矩陣、線性變換的線性空間與線性空間的同構、矩陣的相似、特征值與特征向量、矩陣對角化、線性變換的值域與核、不變子空間
(八)λ-矩陣
1. 掌握l-矩陣及其運算、l-矩陣在初等變換下的標準型
2. 會求不變因子、初等因子及利用初等因子求矩陣的若當標準形
(九)歐幾里得空間
1. 理解歐幾里得空間的定義和基本性質、標準正交基
2. 熟練掌握柯西—布涅柯夫斯基不等式、施密特正交化過程、正交變換與正交矩陣、子空間與正交補空間、對稱變換與對稱矩陣、利用正交矩陣化實對稱矩陣為對角矩陣
三、 參考書目
1. 《高等代數》(第五版)，北京大學數學系前代數小組編，北京：高等教育出版社，2019 年 5 月
2. 《高等代數》(第四版)，北京大學數學系前代數小組編，北京：高等教育出版社，2010 年 3 月
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